Метод и алгоритм решения уравнений теплообмена

Для решения дифференциального уравнения теплопроводности (2.36) с соответствующими начальными и граничными условиями применяется метод конечных разностей. Конечно-разностная сетка изображена на рис.3.1 Каждый узел сетки нумеруется в виде , где - номер узла по направлению для полусферы и цилиндра, a png"> - номер узла по направлению для полусферы и по направлению для цилиндра. Нумерация узлов начинается от центра сферы и оси цилиндра. Коническая поверхность оправки заменена ступенчатой, кратной шагу . Дискретные моменты времени обычно нумеруются индексами: - предыдущий, а - последующий моменты времени. Номер предыдущей и последующей итерации обозначается верхними индексами и соответственно.

Для аппроксимации дифференциальных уравнений теплопроводности (2.37) - (2.40) применяется неявная консервативная итерационная разностная схема, реализуемая методом Гаусса-Зейделя. Суть этого метода заключается в том, что при расчете температуры в узле на -й итерации используются температуры и из предыдущей итерации и вновь вычисленные температуры и на расчетной -й итерации. Неявность разностной схемы достигается применением итерационной процедуры на каждом временном слое.

Рис.3.1 Конечно-разностная сетка, применяемая в численном методе конечных разностей при решении задачи теплопроводности оправки.

Конечно-разностные аналоги дифференциального уравнения теплопроводности для всех характерных участков оправки записываются так:

а) внутренние узлы сферы :

б) внутренние узлы конической и цилиндрической частей оправки :

в) температура в узлах, расположенных на поверхности сопряжения: полусфера - конус, рассчитывается следующим образом. Поскольку поверхность сопряжения одновременно принадлежит полусфере и конусу, то вторая производную по координатам и аппроксимируется по формулам, приведенным далее. Для полусферы принимается составляющая второй производной по углу в сферических координатах, а для конической части - составляющая второй производной по в цилиндрических координатах. Узлы, расположенные на поверхности сопряжения полусфера - конус, пронумерованы . На поверхности сопряжения при использовании равномерной сетки уравнения записываются так: