Понятие устойчивости

Другим типом задачи является подбор размером сечения заданного типа. Можно записать

A=

Однако зависит от размеров и формы сечения, таким образом круг замыкается и задача может быть решена только методом попыток. По сути задача подбора сечения сводится к некоторой последовательности задач первого типа.

Подобрать размеры квадратного поперечного сечения для сжатого стержня. F=280кн. Материал Ст.3 =160МПа: =1м. Разберемся с геометрическими характеристиками

Рис. 106

A=a2 ; Ix=;

1) см

a=см; см2;

Нагрузка, которую может воспринять сечение при заданных размерах

Размеры сечения слишком велики

2)см

a=см; A=24см2;

Размеры сечения слишком малы

Т. к. в обоих случаях мы оказались далеки от истины, то попробуем в качестве следующего значения среднее арифметическое из первых двух

см; a =см; A=36см2;

кн

Обычно считается, что результат достигнут, если сила, которую воспринимает сечение отличается от действующей силы не более чем на 5% в ту или другую сторону т. е.

0,95F

В нашем случае это условие выполнено.

Принимает размер сечения a = 6см

Лекция 15

Энергетический способ определения критических сил

В сколь-нибуть сложных случаях, получить критическую силу из решения дифференциального уравнения изогнутой оси сжатого стержня затруднительно.

Поэтому в подобной ситуации проще получить приближённое решение, например, энергетическим методом.

Рассмотрим стержень центрально сжатый силой F. Условно на рисунке стержень показан шарнирно опёртым, но вопрос о граничных условиях пока оставим открытым

Рис. 106

Пусть сила F меньше эйлеровой критической силы. Если приложить к стержню некоторую поперечную нагрузку Fп, то стержень изогнётся, но будет находиться в устойчивом равновесном состоянии. Сжимающая сила совершит при этом работу на перемещении ▲, которое можно найти следующим образом.

Укорочение малого элемента длиной dz будет равно

▲=

учтём, что = y'

Тогда ▲=

Потенциальная энергия деформации изогнутого стержня

U=

Здесь учтено, что M = EIxy”

Изменение полной энергии при малом изгибе будет

Если , то стержень устойчив, если же , т.е. Fпроизводит работу большую, чем может на копиться в стержне в виде энергии упругой деформации, избыточная работа идёт на сообщение кинетической энергии, стержень приходит в движение и прогибается дальше. Т.е. он не устойчив. Очевидно, что когда сила достигает критического значения, то Fкрили