Нахождение функции, описывающей собственные колебания мембраны

Материалы о физике / Собственные колебания пластин / Нахождение функции, описывающей собственные колебания мембраны

Страница 2

Пусть в плоскости (x, y) расположена прямоугольная мембрана со сторонами b1 и b2, закрепленная по краям. Ее колебание вызывается с помощью начального отклонения и начальной скорости.

Для нахождения функции , характеризующей отклонение мембраны от положения равновесия (прогиб), нужно решить уравнение колебаний при заданных начальных условиях

(2.2.2)

и граничных условиях

(2.2.3)

Краткое решение задачи (2.2.1) – (2.2.3) приведено в книге [8], где были получены следующие результаты.

Функция имеет вид

где - собственные функции, соответствующие собственным значениям (полученным в результате применения метода Фурье) и определяющиеся формулой

А коэффициенты и равны:

Найдем решение задачи при других граничных условиях.

Итак, для нахождения функции , характеризующей прогиб мембраны мы должны решить уравнение колебаний мембраны (2.2.1) при заданных начальных условиях

(2.2.4)

и граничных условиях

(2.2.5)

(2.2.6)

Будем искать решение методом Фурье. Пусть функция

(2.2.7)

и не равна тождественно нулю. Подставляем выражение функции

в уравнение (2.2.1) и, поделив обе части уравнения на

(при этом мы не теряем решений, т. к.

), получаем

Чтобы функция (2.2.6) была решением уравнения (2.2.1), равенство (2.2.7) должно удовлетворяться тождественно, т.е. для любых значений переменных , , . Правая часть равенства (2.2.7) является функцией только переменных (x,y), а левая – только t. Фиксируя, например, некоторые значения x и y и меняя t (или наоборот), получаем, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, пусть оно равно .

(2.2.8)

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7